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e² - 1 的应用

2023-03-05

同时适用于椭圆和双曲线。

为什么使用 e² - 1

一个圆锥曲线第三定义的例子:

椭圆双曲线
kAPkBP=b2a2kAPkBP=b2a2

在椭圆中,b2a2=e21,而在双曲线中 b2a2=e21。使用 e21 可以无视正负性的影响,将椭圆和双曲线的通用理论更好地串联起来。

应用 1

k1k2=e21
k1k2=y0x0+ay0x0a=y02x02a2=b2a2=e21

应用 2

k1k2=e21
x02a2+y02b2=1x12a2+y12b2=1}x02x12a2+y02y12b2=0k1k2=y0y1x0x1y0+y1x0+x1=y02y12x02x12=b2a2=e21

应用 3

k1k2=e21
M(x1+x22,y1+y22)x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1}x12x22a2+y12y22b2=0k1k2=y1y2x1x2(y1+y2)/2(x1+x2)/2=y12y22x12x22=b2a2=e21

应用 4

k1k2=e21

切线:x0xa2+y0yb2=1,k1=b2x0a2y0

k1k2=b2x0a2y0y0x0=b2a2=e21

应用 5

k1k2=e21M 轨迹为相似椭圆
k1k2=e21y1x1y2x2=b2a2x1x2a2+y1y2b2=0

联立

{x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1x1x2a2+y1y2b2=0

x12+x22+2x1x2a2+y12+y22+2y1y2b2=2(x1+x2)2a2+(y1+y2)2b2=2xM2(a2)2+yM2(b2)2=1